bzoj 3675 [Apio2014]序列分割

Description

小H最近迷上了一个分隔序列的游戏。在这个游戏里，小H需要将一个长度为n的非负整数序列分割成k+1个非空的子序列。为了得到k+1个子序列，小H需要重复k次以下的步骤：
1.小H首先选择一个长度超过1的序列（一开始小H只有一个长度为n的序列——也就是一开始得到的整个序列）；
2.选择一个位置，并通过这个位置将这个序列分割成连续的两个非空的新序列。
每次进行上述步骤之后，小H将会得到一定的分数。这个分数为两个新序列中元素和的乘积。小H希望选择一种最佳的分割方式，使得k轮之后，小H的总得分最大。

Input

输入第一行包含两个整数n，k（k+1≤n）。

第二行包含n个非负整数a1，a2，…，an（0≤ai≤10^4），表示一开始小H得到的序列。

Output

输出第一行包含一个整数，为小H可以得到的最大分数。

Sample Input

7 3

4 1 3 4 0 2 3

Sample Output

108

HINT

【样例说明】

在样例中，小H可以通过如下3轮操作得到108分：

1．-开始小H有一个序列(4，1，3，4，0，2，3)。小H选择在第1个数之后的位置将序列分成两部分，并得到4×(1+3+4+0+2+3)=52分。

2．这一轮开始时小H有两个序列：(4)，(1，3，4，0，2，3)。小H选择在第3个数字之后的位置将第二个序列分成两部分，并得到(1+3)×(4+0+2+3)=36分。

3．这一轮开始时小H有三个序列：(4)，(1，3)，(4，0，2，3)。小H选择在第5个数字之后的位置将第三个序列分成两部分，并得到(4+0)×(2+3)=20分。

经过上述三轮操作，小H将会得到四个子序列：(4)，(1，3)，(4，0)，(2，3)并总共得到52+36+20=108分。

【数据规模与评分】

：数据满足2≤n≤100000,1≤k≤min(n -1，200)。

题解

斜率优化

压缩维数。

dp[i] = max(dp[j] + (s[i] – s[j]) * s[j])

dp[i] = max(dp[j] + s[i] * s[j] – sqr(s[j]));

如果k比j优且k>j

则有s[k] > s[j]

dp[j] + s[i] * s[j] – sqr(s[j]) < dp[k] + s[i] * s[k] – sqr(s[k])

(s[k] – s[j]) * s[i] > dp[j] – dp[k] – sqr(s[j]) + sqr(s[k])

s[i] > (dp[j] – dp[k] – sqr(s[j]) + sqr(s[k])) / (s[k] – s[j])

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#define N 100010
using namespace std;
int n, K, a[N], cur, q[N], x, tot;
long long dp[2][N], sqr[N], s[N];
double slop(int k, int j) {
    return (double) (dp[cur][j] - dp[cur][k] - sqr[j] + sqr[k]) / (s[k] - s[j]);
}
void modify(int x) {
    int l = 1, r = 0, j;
    for (int i = x; i <= n; i++) {
        while (l < r && slop(q[l], q[l + 1]) < s[i]) l++;
        j = q[l], dp[cur ^ 1][i] = dp[cur][j] + s[i] * s[j] - sqr[j];
        while (l < r && slop(q[r - 1], q[r]) > slop(q[r], i)) r--;
        q[++r] = i;
    }
}
main() {
    scanf("%d%d", &n, &K);
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        scanf("%d", &x);
        if (x) a[++tot] = x;
    }
    n = tot;
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        s[i] = s[i - 1] + a[i],
        sqr[i] = s[i] * s[i];
    for(int i = 1; i <= K; i++)
        modify(i), cur ^= 1;
    printf("%lld\n", dp[cur][n]);
}