bzoj 2440 [中山市选2011]完全平方数

Description

小 X 自幼就很喜欢数。但奇怪的是，他十分讨厌完全平方数。他觉得这些数看起来很令人难受。由此，他也讨厌所有是完全平方数的正整数倍的数。然而
这丝毫不影响他对其他数的热爱。
这天是小X的生日，小 W 想送一个数给他作为生日礼物。当然他不能送一个小X讨厌的数。他列出了所有小X不讨厌的数，然后选取了第 K个数送给了小X。小X很开心地收下了。
然而现在小 W 却记不起送给小X的是哪个数了。你能帮他一下吗？

Input

包含多组测试数据。文件第一行有一个整数 T，表示测试
数据的组数。
第2 至第T+1 行每行有一个整数Ki，描述一组数据，含义如题目中所描述。

Output

含T 行，分别对每组数据作出回答。第 i 行输出相应的第Ki 个不是完全平方数的正整数倍的数。

Sample Input

4

1

13

100

1234567

Sample Output

1

19

163

2030745

HINT

对于 100%的数据有 1 ≤ Ki ≤ 10^9, T ≤ 50

题解

肯定是个二分答案，每个答案我们可以先考虑怎样去暴力判断。

假设当前二分到的答案是mid，那么不符合条件的数

$$ans = \sum_{p \in prime}^{\sqrt{mid}} {mid \over p^2}$$

这个式子算出来会有多的情况。比如说对于符合条件的${p_1,p_2,p_3,p_4,\cdots ,p_k}$，$mid \over p1\times p2$这个数就会在$p_1,p_2$的时候被计算2遍。所以要减去这种两两质数的情况。

再考虑三个的时候：$mid \over p_1\times p_2 \times p_3$这个数在开始算的时候被算了3次，在上一步减去的时候又被减了三次，所以应该再加一个。

那有k个的时候

$$(-1)^k mid \over p_1 \times p_2 \times \cdots \times p_k$$

我们发现这个容斥跟莫比乌斯函数表示的东西是一样的，我们设d是若干个质数的乘积，那么上面的式子就变成了$\frac{\mu(d)mid}{d}$

然后我们对于每一个二分的答案，只要从$(2,\sqrt{mid})$枚举，用$\mu$计算一下就好了。

也就是用$\mu$函数来当容斥系数了233

#include <cstdio>
#define mid (l + r >> 1)
using namespace std;
const int N = 100000;
bool flag[N + 10];
int T, mu[N + 10], pr[N + 10], k;
void init() {
    mu[1] = 1;
    for (int i = 2; i <= N; ++i) {
        if (!flag[i])
            pr[++pr[0]] = i, mu[i] = -1;
        for (int j = 1; j <= pr[0] && i * pr[j] <= N; ++j) {
            flag[i * pr[j]] = 1;
            if (i % pr[j] == 0) {
                mu[i * pr[j]] = 0;
                break;
            }
            mu[i * pr[j]] = -mu[i];
        }
    }
}
bool check(long long x) {
    long long ans = 0;
    for (long long i = 2; i * i <= x; ++i)
        ans += mu[(int)i] * (x / (i * i));
    return x + ans < k;
}
main() {
    init();
    scanf("%d", &T);
    while (T--) {
        scanf("%d", &k);
        long long l = 1, r = k << 1;
        while (l < r)
            if (check(mid))
                l = mid + 1;
            else
                r = mid;
        printf("%lld\n", l);
    }
}