bzoj 2005 [Noi2010]能量采集

内容

Description

栋栋有一块长方形的地，他在地上种了一种能量植物，这种植物可以采集太阳光的能量。在这些植物采集能量后，栋栋再使用一个能量汇集机器把这些植物采集到的能量汇集到一起。栋栋的植物种得非常整齐，一共有n列，每列有m棵，植物的横竖间距都一样，因此对于每一棵植物，栋栋可以用一个坐标(x, y)来表示，其中x的范围是1至n，表示是在第x列，y的范围是1至m，表示是在第x列的第y棵。由于能量汇集机器较大，不便移动，栋栋将它放在了一个角上，坐标正好是(0, 0)。能量汇集机器在汇集的过程中有一定的能量损失。如果一棵植物与能量汇集机器连接而成的线段上有k棵植物，则能量的损失为2k + 1。例如，当能量汇集机器收集坐标为(2, 4)的植物时，由于
连接线段上存在一棵植物(1, 2)，会产生3的能量损失。注意，如果一棵植物与能量汇集机器连接的线段上没有植物，则能量损失为1。现在要计算总的能量损失。下面给出了一个能量采集的例子，其中n = 5，m = 4，一共有20棵植物，在每棵植物上标明了能量汇集机器收集它的能量时产生的能量损失。在这个例子中，总共产生了36的能量损失。

Input

仅包含一行，为两个整数n和m。

Output

仅包含一个整数，表示总共产生的能量损失。

Sample Input

【样例输入1】

5 4

【样例输入2】

3 4

Sample Output

【样例输出1】

【样例输出2】

对于100%的数据：1 ≤ n, m ≤ 100,000。

题解

$$
\large
\begin{aligned}
ans &= \sum_{i = 1}^n \sum_{j = 1}^m 2((i,j) – 1) + 1 \\
&= \sum_{i = 1}^n \sum_{j = 1}^m 2(i,j) – 1\\
&= -nm+2\sum_{i = 1}^n \sum_{j = 1}^m (i,j)\\
f(n,m) &= \sum_{i =1}^n\sum_{j = 1}^m(i, j)\\
&= \sum_dd\sum_{i = 1}^{n\over d} \sum_{j = 1}^{m\over d}[(i,j)=1]\\
&= \sum_dd\sum_{i = 1}^{n\over d} \sum_{j = 1}^{m\over d}\sum_{p|(i,j)}\mu(p)\\
&= \sum_dd\sum_p\mu(p){n\over dp}{m\over dp}\\
&= \sum_dd\sum_p\mu(p){n\over T}{m\over T}\\
&= \sum_{T = 1}^{min(n,m)}{n\over T}{m\over T}\sum_{d|T}\mu({T\over d})d\;\;\;\;\;(\mu * id) = \varphi\\
&= \sum_{T = 1}^{min(n,m)}{n\over T}{m\over T}\varphi(T)
\end{aligned}
$$

直接筛一个phi就好了

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
using namespace std;
const int N = 100010;
bool p[N + 10];
int n, m;
long long phi[N + 10], pr[N + 10], ans;
void init() {
    phi[1] = 1;
    for (int i = 2; i <= N; ++i) {
        if (!p[i])
            pr[++pr[0]] = i, phi[i] = i - 1;
        for (int j = 1; j <= pr[0] && i * pr[j] <= N; ++j) {
            p[i * pr[j]] = 1;
            if (i % pr[j] == 0) {
                phi[i * pr[j]] = phi[i] * pr[j];
                break;
            }
            phi[i * pr[j]] = phi[i] * phi[pr[j]];
        }
    }
    for (int i = 1; i <= N; ++i) phi[i] += phi[i - 1];
}
main() {
    scanf("%d%d", &n, &m);
    init();
    if (n > m) swap(n, m);
    for (int i = 1, las; i <= n; i = las + 1) {
        las = min(n / (n / i), m / (m / i));
        ans += 1ll * (n / i) * (m / i) * (phi[las] - phi[i - 1]);
        if (las == n) break;
    }
    printf("%lld\n", 2ll * ans - 1ll * n * m);
}