树状数组总结

一种简单，常数小，高效的小巧数据结构。有着迷人的性质。。。

假如我们有树状数组a[1..n]，那么查询a[1]+…+a[n]的时间是log级别的，而且是一个在线的数据结构，支持随时修改某个元素的值，复杂度也为log级别。

来观察这个图：

令结点编号为C1，C2…Cn。令每个结点的值为这棵树的值的总和，那么容易发现：

这里有一个有趣的性质：

设节点编号为x，那么这个节点管辖的区间为2^k（其中k为x二进制末尾0的个数）个元素。因为这个区间最后一个元素必然为Ax，

所以很明显：Cn = A(n – 2^k + 1) + … + An

2^k有一种简单的求法：利用补码的性质

int lowbit(int x)
{
    return x&-x;
}

当想要查询一个SUM(n)(求a[n]的和），可以依据如下算法即可：

step1:　令sum = 0，转第二步；
step2:　假如n <= 0，算法结束，返回sum值，否则sum = sum + Cn，转第三步；
step3:    令n = n – lowbit(n)，转第二步。

可以看出，这个算法就是将这一个个区间的和全部加起来，为什么是效率是log(n)的呢？以下给出证明：

n = n – lowbit(n)这一步实际上等价于将n的二进制的最后一个1减去。而n的二进制里最多有log(n)个1，所以查询效率是log(n)的。

那么修改呢，修改一个节点，必须修改其所有祖先，最坏情况下为修改第一个元素，最多有log(n)的祖先。

所以修改算法如下（给某个结点i加上x）：

step1: 当i > n时，算法结束，否则转第二步；
step2: Ci = Ci + x， i = i + lowbit(i)转第一步。

i = i +lowbit(i)这个过程实际上也只是一个把末尾1补为0的过程。

它的优点就是非常简单

#include <cstdio>
#define N 500010
#define lowbit(i) i&-i
using namespace std;
int c[N],n;
void add(int v,int x)
{
    for (int i=x;i<=n;i+=lowbit(i))
        c[i]+=v;
}
int query(int l,int r)
{
    int ans=0;
    for (int i=l;i>=1;i-=lowbit(i))
        ans-=c[i];
    for (int i=r;i>=1;i-=lowbit(i))
        ans+=c[i];
    return ans;
}
main()
{
    int m,x,l,r;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for (int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%d",&x),add(x,i);
    for (int i=1;i<=m;i++)
    {
        scanf("%d%d%d",&x,&l,&r);
        if (x==2)
            printf("%dn",query(l-1,r));
        else
            add(r,l);
    }
}

例题