图论Tarjan算法笔记

最近研究了一下图论【其实是因为loli的图论题

下面就来一起学习一下有趣的Tarjan吧。。。

有向图强连通分量

在有向图G中，如果两个顶点间至少存在一条路径，称两个顶点强连通(strongly connected)。如果有向图G的每两个顶点都强连通，称G是一个强连通图。非强连通图有向图的极大强连通子图，称为强连通分量(strongly connected components)。

下图中，子图{1,2,3,4}为一个强连通分量，因为顶点1,2,3,4两两可达。{5},{6}也分别是两个强连通分量。

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直接根据定义，用双向遍历取交集的方法求强连通分量，时间复杂度为O(N^2+M)。更好的方法是Kosaraju算法或Tarjan算法，两者的时间复杂度都是O(N+M)。本文讲的是Tarjan算法。

Tarjan算法

Tarjan算法是基于对图深度优先搜索的算法，每个强连通分量为搜索树中的一棵子树。搜索时，把当前搜索树中未处理的节点加入一个堆栈，回溯时可以判断栈顶到栈中的节点是否为一个强连通分量。

定义DFN(u)为节点u搜索的次序编号(时间戳)，Low(u)为u或u的子树能够追溯到的最早的栈中节点的次序号。由定义可以得出，

Low(u)=Min
{
    DFN(u),
    Low(v),(u,v)为树枝边，u为v的父节点
    DFN(v),(u,v)为指向栈中节点的后向边(非横叉边)
}

当DFN(u)=Low(u)时，以u为根的搜索子树上所有节点是一个强连通分量。

算法伪代码如下

tarjan(u)
{
    DFN[u]=Low[u]=++Index              // 为节点u设定次序编号和Low初值
    Stack.push(u)                      // 将节点u压入栈中
    for each (u, v) in E               // 枚举每一条边
        if (v is not visted)           // 如果节点v未被访问过
            tarjan(v)                  // 继续向下找
            Low[u] = min(Low[u], Low[v])
        else if (v in S)               // 如果节点v还在栈内
            Low[u] = min(Low[u], DFN[v])
    if (DFN[u] == Low[u])              // 如果节点u是强连通分量的根
        repeat
            v = S.pop                  // 将v退栈，为该强连通分量中一个顶点
            print v
        until (u== v)
}

接下来是对算法流程的演示。

从节点1开始DFS，把遍历到的节点加入栈中。搜索到节点u=6时，DFN[6]=LOW[6]，找到了一个强连通分量。退栈到u=v为止，{6}为一个强连通分量。

返回节点5，发现DFN[5]=LOW[5]，退栈后{5}为一个强连通分量。

返回节点3，继续搜索到节点4，把4加入堆栈。发现节点4向节点1有后向边，节点1还在栈中，所以LOW[4]=1。节点6已经出栈，(4,6)是横叉边，返回3，(3,4)为树枝边，所以LOW[3]=LOW[4]=1。

继续回到节点1，最后访问节点2。访问边(2,4)，4还在栈中，所以LOW[2]=DFN[4]=5。返回1后，发现DFN[1]=LOW[1]，把栈中节点全部取出，组成一个连通分量{1,3,4,2}。

至此，算法结束。经过该算法，求出了图中全部的三个强连通分量{1,3,4,2},{5},{6}。

可以发现，运行Tarjan算法的过程中，每个顶点都被访问了一次，且只进出了一次堆栈，每条边也只被访问了一次，所以该算法的时间复杂度为O(N+M)。

总结一下

（1）我们先对每一个顶点判断，如果已经被运行过了，则不动，否则进行拓展

（2）对于每一个点，我们设2个值来表示（dfn和low){low[i]表示结点i的根结点的dfn值}，dfn则是结点i的时间戳

（3）在第一次顺序遍历时，dfn[u]=low[u]=++cnt，初始化序列

（4）然后将遍历到的点压入栈，并且置为已做过

（5）在整个图中枚举一条以u为右端点的边(from,to)，然后判断左端点是否已经入栈，如果已经入栈，则修改low[u]:low[u]=max(low[u],dfn(to))，如果没入栈，则对其进行递归处理，返回时low[u]=min(low[u],low[to])

（6）当出现dfn[u]==low[u]时，则表明已经出现一个强联通分量，依次弹出并消除标记即可，此时cnt++，则该作用为统计联通块数量

求有向图的强连通分量还有一个强有力的算法，为Kosaraju算法。Kosaraju是基于对有向图及其逆图两次DFS的方法，其时间复杂度也是O(N+M)。与Trajan算法相比，Kosaraju算法可能会稍微更直观一些。但是Tarjan只用对原图进行一次DFS，不用建立逆图，更简洁。在实际的测试中，Tarjan算法的运行效率也比Kosaraju算法高30%左右。此外，该Tarjan算法与求无向图的双连通分量(割点、桥)的Tarjan算法也有着很深的联系。学习该Tarjan算法，也有助于深入理解求双连通分量的Tarjan算法，两者可以类比、组合理解。

求有向图的强连通分量的Tarjan算法是以其发明者Robert Tarjan命名的。Robert Tarjan还发明了求双连通分量的Tarjan算法，以及求最近公共祖先的离线Tarjan算法，在此对Tarjan表示崇高的敬意。

c++实现

void tarjan(int x)
{
    dfn[x]=low[x]=++dfs_clock;
    s.push(x);
    for (int i=st[x];i;i=e[i].next)
    {
        if (!dfn[e[i].to])
        {
            tarjan(e[i].to);
            low[x]=min(low[x],low[e[i].to]);
        }
        else if (!scc_in[e[i].to])
            low[x]=min(low[x],dfn[e[i].to]);
    }
    if (low[x]==dfn[x])
    {
        ++scc_tot;
        while(1)
        {
            int now=s.top();
            s.pop();
            scc_in[now]=scc_tot;
            scc_size[scc_tot]++;
            if (now==x) break;
        }
    }
}