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bzoj 2597 [Wc2007]剪刀石头布

Description

在一些一对一游戏的比赛(如下棋、乒乓球和羽毛球的单打)中,我们经常会遇到A胜过B,B胜过C而C又胜过A的有趣情况,不妨形象的称之为剪刀石头布情况。有的时候,无聊的人们会津津乐道于统计有多少这样的剪刀石头布情况发生,即有多少对无序三元组(A, B, C),满足其中的一个人在比赛中赢了另一个人,另一个人赢了第三个人而第三个人又胜过了第一个人。注意这里无序的意思是说三元组中元素的顺序并不重要,将(A, B, C)、(A, C, B)、(B, A, C)、(B, C, A)、(C, A, B)和(C, B, A)视为相同的情况。
有N个人参加一场这样的游戏的比赛,赛程规定任意两个人之间都要进行一场比赛:这样总共有场比赛。比赛已经进行了一部分,我们想知道在极端情况下,比赛结束后最多会发生多少剪刀石头布情况。即给出已经发生的比赛结果,而你可以任意安排剩下的比赛的结果,以得到尽量多的剪刀石头布情况。

Input

输入文件的第1行是一个整数N,表示参加比赛的人数。
之后是一个N行N列的数字矩阵:一共N行,每行N列,数字间用空格隔开。
在第(i+1)行的第j列的数字如果是1,则表示i在已经发生的比赛中赢了j;该数字若是0,则表示在已经发生的比赛中i败于j;该数字是2,表示i和j之间的比赛尚未发生。数字矩阵对角线上的数字,即第(i+1)行第i列的数字都是0,它们仅仅是占位符号,没有任何意义。
输入文件保证合法,不会发生矛盾,当i≠j时,第(i+1)行第j列和第(j+1)行第i列的两个数字要么都是2,要么一个是0一个是1。

Output

输出文件的第1行是一个整数,表示在你安排的比赛结果中,出现了多少剪刀石头布情况。
输出文件的第2行开始有一个和输入文件中格式相同的N行N列的数字矩阵。第(i+1)行第j个数字描述了i和j之间的比赛结果,1表示i赢了j,0表示i负于j,与输入矩阵不同的是,在这个矩阵中没有表示比赛尚未进行的数字2;对角线上的数字都是0。输出矩阵要保证合法,不能发生矛盾。

Sample Input

3

0 1 2

0 0 2

2 2 0

Sample Output

1

0 1 0

0 0 1

1 0 0

HINT

100%的数据中,N≤ 100。

题解

转载:

是不是感觉这样一个问题很难和费用流扯上关系?但它实际上是有关系的…

首先我们可以转化为补集问题,也就是非石头剪刀布的情况。如果三个人之间的关系不是石头剪刀布,那么一定有某个人赢了另外两个人(这是很容易证明的)。假设第i个人赢了w[i]局,那么非石头剪刀布情况的总数为∑(C(w[i],2)),我们现在的任务就是让∑(C(w[i],2))最小(补集思想)。

下面我们就要考虑如何用费用流实现这个问题了。对于每一场比赛只有一个人可以获胜,我们很容易想到从源点到比赛节点连边,容量为1,费用为0;从比赛节点到两个选手节点连边,容量为1,费用为0。但是从选手向汇点怎么连边呢?这里的费用和流量成二次关系,我们可以用拆边法。拆边法顾名思义,就是把一条边拆成很多条边,但是整体的效果是没有改变的。

那怎么拆边呢?我们可以发现C(w[i],2)=w[i]*(w[i]-1)/2=1+2+3+…+(w[i]-1)。对于每个选手节点i,假设当前已经赢了w[i]场,我们就先将
C(w[i],2)累计到sum中(其中sum表示非石头剪刀布的数目),从该选手节点向汇点连边,容量为1,费用依次为w[i],w[i]+1,w[i]+2……连多少条边呢?n条一定够用了。

然后求最小费用最大流就可以了。

最终答案为C(n,3)-sum。


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