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bzoj 2440 [中山市选2011]完全平方数

Description

小 X 自幼就很喜欢数。但奇怪的是,他十分讨厌完全平方数。他觉得这些数看起来很令人难受。由此,他也讨厌所有是完全平方数的正整数倍的数。然而
这丝毫不影响他对其他数的热爱。
这天是小X的生日,小 W 想送一个数给他作为生日礼物。当然他不能送一个小X讨厌的数。他列出了所有小X不讨厌的数,然后选取了第 K个数送给了小X。小X很开心地收下了。
然而现在小 W 却记不起送给小X的是哪个数了。你能帮他一下吗?

Input

包含多组测试数据。文件第一行有一个整数 T,表示测试
数据的组数。
第2 至第T+1 行每行有一个整数Ki,描述一组数据,含义如题目中所描述。

Output

含T 行,分别对每组数据作出回答。第 i 行输出相应的第Ki 个不是完全平方数的正整数倍的数。

Sample Input

4

1

13

100

1234567

Sample Output

1

19

163

2030745

HINT

对于 100%的数据有 1 ≤ Ki ≤ 10^9, T ≤ 50

题解

肯定是个二分答案,每个答案我们可以先考虑怎样去暴力判断。

假设当前二分到的答案是mid,那么不符合条件的数

$$ans = \sum_{p \in prime}^{\sqrt{mid}} {mid \over p^2}$$

这个式子算出来会有多的情况。比如说对于符合条件的${p_1,p_2,p_3,p_4,\cdots ,p_k}$,$mid \over p1\times p2$这个数就会在$p_1,p_2$的时候被计算2遍。所以要减去这种两两质数的情况。

再考虑三个的时候:$mid \over p_1\times p_2 \times p_3$这个数在开始算的时候被算了3次,在上一步减去的时候又被减了三次,所以应该再加一个。

那有k个的时候

$$(-1)^k mid \over p_1 \times p_2 \times \cdots \times p_k$$

我们发现这个容斥跟莫比乌斯函数表示的东西是一样的,我们设d是若干个质数的乘积,那么上面的式子就变成了$\frac{\mu(d)mid}{d}$

然后我们对于每一个二分的答案,只要从$(2,\sqrt{mid})$枚举,用$\mu$计算一下就好了。

也就是用$\mu$函数来当容斥系数了233


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