首页 > 题解 > bzoj 2005 [Noi2010]能量采集

bzoj 2005 [Noi2010]能量采集

Description

栋栋有一块长方形的地,他在地上种了一种能量植物,这种植物可以采集太阳光的能量。在这些植物采集能量后,栋栋再使用一个能量汇集机器把这些植物采集到的能量汇集到一起。 栋栋的植物种得非常整齐,一共有n列,每列有m棵,植物的横竖间距都一样,因此对于每一棵植物,栋栋可以用一个坐标(x, y)来表示,其中x的范围是1至n,表示是在第x列,y的范围是1至m,表示是在第x列的第y棵。 由于能量汇集机器较大,不便移动,栋栋将它放在了一个角上,坐标正好是(0, 0)。 能量汇集机器在汇集的过程中有一定的能量损失。如果一棵植物与能量汇集机器连接而成的线段上有k棵植物,则能量的损失为2k + 1。例如,当能量汇集机器收集坐标为(2, 4)的植物时,由于
连接线段上存在一棵植物(1, 2),会产生3的能量损失。注意,如果一棵植物与能量汇集机器连接的线段上没有植物,则能量损失为1。现在要计算总的能量损失。 下面给出了一个能量采集的例子,其中n = 5,m = 4,一共有20棵植物,在每棵植物上标明了能量汇集机器收集它的能量时产生的能量损失。 在这个例子中,总共产生了36的能量损失。

Input

仅包含一行,为两个整数n和m。

Output

仅包含一个整数,表示总共产生的能量损失。

Sample Input

【样例输入1】

5 4

【样例输入2】

3 4

Sample Output

【样例输出1】

36

【样例输出2】

20

对于100%的数据:1 ≤ n, m ≤ 100,000。

题解

$$
\large
\begin{aligned}
ans &= \sum_{i = 1}^n \sum_{j = 1}^m 2((i,j) - 1) + 1 \\
&= \sum_{i = 1}^n \sum_{j = 1}^m 2(i,j) - 1\\
&= -nm+2\sum_{i = 1}^n \sum_{j = 1}^m (i,j)\\
f(n,m) &= \sum_{i =1}^n\sum_{j = 1}^m(i, j)\\
&= \sum_dd\sum_{i = 1}^{n\over d} \sum_{j = 1}^{m\over d}[(i,j)=1]\\
&= \sum_dd\sum_{i = 1}^{n\over d} \sum_{j = 1}^{m\over d}\sum_{p|(i,j)}\mu(p)\\
&= \sum_dd\sum_p\mu(p){n\over dp}{m\over dp}\\
&= \sum_dd\sum_p\mu(p){n\over T}{m\over T}\\
&= \sum_{T = 1}^{min(n,m)}{n\over T}{m\over T}\sum_{d|T}\mu({T\over d})d\;\;\;\;\;(\mu * id) = \varphi\\
&= \sum_{T = 1}^{min(n,m)}{n\over T}{m\over T}\varphi(T)
\end{aligned}
$$

直接筛一个phi就好了


如果你觉的这篇文章不错,分享给朋友吧!

打开微信“扫一扫”,打开网页后点击屏幕右上角分享按钮

×