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网络流24题之十 餐巾计划问题

填坑

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题目描述

一个餐厅在相继的 N 天里,每天需用的餐巾数不尽相同。假设第 i 天需要 ri块餐巾(i=1,2,…,N)。餐厅可以购买新的餐巾,每块餐巾的费用为 p 分;或者把旧餐巾送到快洗部,洗一块需 m 天,其费用为 f 分;或者送到慢洗部,洗一块需 n 天(n>m),其费用为 s<f 分。每天结束时,餐厅必须决定将多少块脏的餐巾送到快洗部,多少块餐巾送到慢洗部,以及多少块保存起来延期送洗。但是每天洗好的餐巾和购买的新餐巾数之和,要满足当天的需求量。试设计一个算法为餐厅合理地安排好 N 天中餐巾使用计划,使总的花费最小。编程找出一个最佳餐巾使用计划.

输入输出格式

输入格式:

第 1 行有 6 个正整数 N,p,m,f,n,s。N 是要安排餐巾使用计划的天数;p 是每块新餐巾的费用;m 是快洗部洗一块餐巾需用天数;f 是快洗部洗一块餐巾需要的费用;n 是慢洗部洗一块餐巾需用天数;s 是慢洗部洗一块餐巾需要的费用。接下来的 N 行是餐厅在相继的 N 天里,每天需用的餐巾数。

输出格式:

程序运行结束时,将餐厅在相继的 N 天里使用餐巾的最小总花费输出

输入输出样例

输入样例#1:

输出样例#1:

模型

网络优化问题,用最小费用最大流解决。

实现

把每天分为二分图两个集合中的顶点Xi,Yi,建立附加源S汇T。

1、从S向每个Xi连一条容量为ri,费用为0的有向边。
2、从每个Yi向T连一条容量为ri,费用为0的有向边。
3、从S向每个Yi连一条容量为无穷大,费用为p的有向边。
4、从每个Xi向Xi+1(i+1<=N)连一条容量为无穷大,费用为0的有向边。
5、从每个Xi向Yi+m(i+m<=N)连一条容量为无穷大,费用为f的有向边。
6、从每个Xi向Yi+n(i+n<=N)连一条容量为无穷大,费用为s的有向边。

求网络最小费用最大流,费用流值就是要求的最小总花费。

分析

这个问题的主要约束条件是每天的餐巾够用,而餐巾的来源可能是最新购买,也可能是前几天送洗,今天刚刚洗好的餐巾。每天用完的餐巾可以选择送到快洗部或慢洗部,或者留到下一天再处理。

经过分析可以把每天要用的和用完的分离开处理,建模后就是二分图。二分图X集合中顶点Xi表示第i天用完的餐巾,其数量为ri,所以从S向Xi连接容量为ri的边作为限制。Y集合中每个点Yi则是第i天需要的餐巾,数量为ri,与T连接的边容量作为限制。每天用完的餐巾可以选择留到下一天(Xi->Xi+1),不需要花费,送到快洗部(Xi->Yi+m),费用为f,送到慢洗部(Xi->Yi+n),费用为s。每天需要的餐巾除了刚刚洗好的餐巾,还可能是新购买的(S->Yi),费用为p。

在网络上求出的最小费用最大流,满足了问题的约束条件(因为在这个图上最大流一定可以使与T连接的边全部满流,其他边只要有可行流就满足条件),而且还可以保证总费用最小,就是我们的优化目标。

代码:

 


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