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网络流24题之六 最长递增子序列问题

填坑

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题目描述

«问题描述:

给定正整数序列x1,…,xn 。

(1)计算其最长递增子序列的长度s。

(2)计算从给定的序列中最多可取出多少个长度为s的递增子序列。

(3)如果允许在取出的序列中多次使用x1和xn,则从给定序列中最多可取出多少个长度为s的递增子序列。

«编程任务:

设计有效算法完成(1)(2)(3)提出的计算任务。

输入输出格式

输入格式:

第1 行有1个正整数n,表示给定序列的长度。接下来的1 行有n个正整数n:x1, …, xn。

输出格式:

第1 行是最长递增子序列的长度s。第2行是可取出的长度为s 的递增子序列个数。第3行是允许在取出的序列中多次使用x1和xn时可取出的长度为s 的递增子序列个数。

输入输出样例

输入样例#1:

输出样例#1:

模型

第一问时LIS,动态规划求解,第二问和第三问用网络最大流解决。

实现

首先动态规划求出F[i],表示以第i位为开头的最长上升序列的长度,求出最长上升序列长度K。

1、把序列每位i拆成两个点<i.a>和<i.b>,从<i.a>到<i.b>连接一条容量为1的有向边。
2、建立附加源S和汇T,如果序列第i位有F[i]=K,从S到<i.a>连接一条容量为1的有向边。
3、如果F[i]=1,从<i.b>到T连接一条容量为1的有向边。
4、如果j>i且A[i] < A[j]且F[j]+1=F[i],从<i.b>到<j.a>连接一条容量为1的有向边。

求网络最大流,就是第二问的结果。把边(<1.a>,<1.b>)(<N.a>,<N.b>)(S,<1.a>)(<N.b>,T)这四条边的容量修改为无穷大,再求一次网络最大流,就是第三问结果。

分析

上述建模方法是应用了一种分层图的思想,把图每个顶点i按照F[i]的不同分为了若干层,这样图中从S出发到T的任何一条路径都是一个满足条件的最长上升子序列。由于序列中每个点要不可重复地取出,需要把每个点拆分成两个点。单位网络的最大流就是增广路的条数,所以最大流量就是第二问结果。第三问特殊地要求x1和xn可以重复使用,只需取消这两个点相关边的流量限制,求网络最大流即可。

代码

 


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