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网络流24题之九 方格取数问题

填坑

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题目描述

在一个有 m*n 个方格的棋盘中,每个方格中有一个正整数。现要从方格中取数,使任意 2 个数所在方格没有公共边,且取出的数的总和最大。试设计一个满足要求的取数算法。对于给定的方格棋盘,按照取数要求编程找出总和最大的数。

输入输出格式

输入格式:

第 1 行有 2 个正整数 m 和 n,分别表示棋盘的行数和列数。接下来的 m 行,每行有 n 个正整数,表示棋盘方格中的数。

输出格式:

程序运行结束时,将取数的最大总和输出

输入输出样例

输入样例#1:
输出样例#1:

方哥

模型

二分图点权最大独立集,转化为最小割模型,从而用最大流解决。

实现

首先把棋盘黑白染色,使相邻格子颜色不同,所有黑色格子看做二分图X集合中顶点,白色格子看做Y集合顶点,建立附加源S汇T。

1、从S向X集合中每个顶点连接一条容量为格子中数值的有向边。
2、从Y集合中每个顶点向T连接一条容量为格子中数值的有向边。
3、相邻黑白格子Xi,Yj之间从Xi向Yj连接一条容量为无穷大的有向边。

求出网络最大流,要求的结果就是所有格子中数值之和减去最大流量。

分析

这是一个二分图最大点权独立集问题,就是找出图中一些点,使得这些点之间没有边相连,这些点的权值之和最大。独立集与覆盖集是互补的,求最大点权独立集可以转化为求最小点权覆盖集(最小点权支配集)。最小点权覆盖集问题可以转化为最小割问题解决。结论:最大点权独立集 = 所有点权 – 最小点权覆盖集 = 所有点权 – 最小割集 = 所有点权 – 网络最大流。

对于一个网络,除去冗余点(不存在一条ST路径经过的点),每个顶点都在一个从S到T的路径上。割的性质就是不存在从S到T的路径,简单割可以认为割边关联的非ST节点为割点,而在二分图网络流模型中每个点必关联到一个割点(否则一定还有增广路,当前割不成立),所以一个割集对应了一个覆盖集(支配集)。最小点权覆盖集就是最小简单割,求最小简单割的建模方法就是把XY集合之间的变容量设为无穷大,此时的最小割就是最小简单割了。

代码:

 


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