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网络流24题之七 试题库问题

填坑

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题目描述

«问题描述:

假设一个试题库中有n道试题。每道试题都标明了所属类别。同一道题可能有多个类别属性。现要从题库中抽取m 道题组成试卷。并要求试卷包含指定类型的试题。试设计一个满足要求的组卷算法。

«编程任务:

对于给定的组卷要求,计算满足要求的组卷方案。

输入输出格式

输入格式:

第1行有2个正整数k和n (2 <=k<= 20, k<=n<= 1000)

k 表示题库中试题类型总数,n 表示题库中试题总数。第2 行有k 个正整数,第i 个正整数表示要选出的类型i的题数。这k个数相加就是要选出的总题数m。接下来的n行给出了题库中每个试题的类型信息。每行的第1 个正整数p表明该题可以属于p类,接着的p个数是该题所属的类型号。

输出格式:

第i 行输出 “i:”后接类型i的题号。如果有多个满足要求的方案,只要输出1个方案。如果问题无解,则输出“No Solution!”。

输入输出样例

输入样例#1:

输出样例#1:

【问题分析】

二分图多重匹配问题,用最大流解决。

【建模方法】

建立二分图,每个类别为X集合中的顶点,每个题为Y集合中的顶点,增设附加源S和汇T。

1、从S向每个Xi连接一条容量为该类别所需数量的有向边。
2、从每个Yi向T连接一条容量为1的有向边。
3、如果一个题i属于一个类别j,连接一条从Xj到Yi容量为1的有向边。

求网络最大流,如果最大流量等于所有类别所需之和,则存在解,否则无解。对于每个类别,从X集合对应点出发的所有满流边,指向的B集合中的顶点就是该类别的所选的题(一个可行解)。

【建模分析】

二分图多重匹配问题。X,Y集合之间的边容量全部是1,保证两个点只能匹配一次,源汇的连边限制了每个点匹配的个数。求出网络最大流,如果流量等于X集合所有点与S边容量之和,那么则说明X集合每个点都有完备的多重匹配。

 


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